Logic and Language

Copyright   James R Meyer    2012 - 2022 https://www.jamesrmeyer.com

Note: Full functionality of this website requires JavaScript to be enabled in your browser.

# On the problem of measuring sets of points on a straight line, by Giuseppe Vitali

This is an English translation of Giuseppe Vitali’s paper of 1905 on the question of the measurability of certain sets by the standard rules of measure, given the axiom of choice/well-ordering: Sul problema della misura dei Gruppi di punti di una retta: Nota, published by Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

English translation by James R Meyer, copyright 2022 www.jamesrmeyer.com

On the problem of measuring sets of points on a straight line

by Giuseppe Vitali

The problem of measuring sets of points of a straight line r is that of determining for each set A of points of r a real and positive number η(A), which will call the measure of A, so that:⁠ (Footnote: See: Leçons sur l’intégration etc, by H. Lebesque p.103, Paris, Gauthier-Villars, 1904.)

(1) Two sets that can be made to coincide with a convenient rigid displacement of one of them have the same measure.

(2) The sum set of a finite number of sets, or of a denumerable infinity of sets, without points common to any two, has a measure that is the sum of the measures.

(3) The measure of the set of all points of the interval (0, 1) is 1.

Let x be a point of r. The points of r that differ from x by any positive, negative or null rational number form a denumerable set Ax. If Ax1 and Ax2 are two such sets, either they are without any common points or else they coincide.

Consider different Ax sets as elements that constitute a set H. If P is any point of r, there will exist one and only one element of H to which P belongs.

For each element α of H, consider a point Pα of the interval (0, ½) that belongs to α, and we denote by G0 the set of points Pα. If then ρ is any rational number, we will indicate with Gρ the set of points Pα - ρ .

The sets Gρ that correspond to the different rational values ​​of ρ are such that no two have common points, they are also a denumerable infinity and must have the same measure, by (1) above.

The sets

G0, G 1 ⁄2, G 1 ⁄3, G 1 ⁄4, …

all fall within the interval (0, 1), hence their sum must have a measure m ≤ 1.

But it must be the case that

m = μ(G0) +   ∑  n = 2   G 1 ⁄n

= Lim            n → ∞ n · μ(G0)

and therefore

μ(G0 ) = 0

But then the sum of all Gρ corresponding to the different rational values of ρ must also have zero measure. But this sum is the set of all the points of r and therefore it should have infinite measure.

This suffices to conclude that:

the problem of measuring the sets of points of a straight line is insurmountable.

Some objections might be raised with respect to the argument regarding the G0 set. The argument can be considered to be perfectly justifiable if one assumes that the continuum can be well-ordered. If one does not want to make that assumption, the above result means that:

a solution to the problem of measuring sets of points of a straight line is not possible if the continuum is well-ordered.

Footnotes:

### Original Italian text

Sul problema della misura dei Gruppi di punti di una retta

Nota di Giuseppe Vitali

Il problema della misura dei gruppi di punti di una retta r è quello di determinare per ogni gruppo A di punti di r un numero reale e positivo η(A), che dovrà dirsi misura di A, in modo che:

1°) Due gruppi che si possono far coincidere con un conveniente spostamento rigido di uno di essi abbiano la stessa misura.

2°) Il gruppo somma di un numero finito o di un infinità numerabile di gruppi, senza punti comuni a due a due, abbia per misura la somma delle misure.

3°) La misura del gruppo di tutti i punti dlell’intervallo (0, 1) sia 1.⁠ (Footnote: See: Leçons sur l’intégration etc, by H. Lebesque p.103, Paris, Gauthier-Villars, 1904.)

Sia x un punto di r. I punti di r che differiscono da x per un numero razionale qualsiasi positivo, negativo o nullo formano un gruppo Ax numerabile. Se Ax1 e Ax2 sono due tali gruppi, o essi sono senza punti comuni o coincidono.

Consideriamo i diversi gruppi Ax; essi, considerati come elementi, formano un gruppo H. Se P è un punto qualsiasi di r, esisterà un elemento ed uno solo di H a cui P appartiene.

α of H, consider a point Pα of the interval (0, ½) that belongs to α, and we denote by G0 the set of points Pα. If then ρ is any rational number, we will indicate with Gρ the set of points Pα - ρ .

The sets Gρ that correspond to the different rational values ​​of ρ

Consideriamo per ogni elemento α di H un punto Pα dell intervallo (0, ½) che appartenga ad α, ed indichiamo con G0 il gruppo dei punti Pα. Se poi ρ è un numero razionale qualsiasi, indicheremo con Gρ il gruppo dei punti Pα - ρ.

I gruppi Gρ corrispondenti ai diversi valori razionali di ρ sono a due a due senza punti comuni, essi inoltre sono un’infinità numerabile e devono avere per la 1°) la stessa misura.

I gruppi

G0, G 1 ⁄2, G 1 ⁄3, G 1 ⁄4, …

cadono tutti nell’intervallo (0, 1), quindi la loro somma deve avere una misura m ≤ 1.

Ma deve essere

m = μ(G0) +   ∑  n = 2   G 1 ⁄n

= Lim            n → ∞ n · μ(G0)

e quindi

μ(G0 ) = 0

Ma allora la somma di tutti i Gρ corrispondenti ai diversi valori razionali di ρ deve essa pure avere misura nulla. Però questa somma è il gruppo di tutti i punti di r e quindi dovrebbe avere misura infinita.

Ciò basta per concludere che:

il problema della misura dei gruppi di punti di una retta è impossiblle.

Qualche cosa si potrebbe obiettare circa la considerazione del gruppo G0. Questa sì può perfettamente giustificare se si ammette che il continuo si possa bene ordinare. Per chi non voglia ammettere ciò il nostro risultato significa che:

la possibilità del problema della misura dei gruppi di punti di una retta e quella di bene ordinare il continuo non possono coesistere.

Footnotes:

Copyright   James R Meyer   2012 - 2022
https://www.jamesrmeyer.com